d d x arsinh ⁡ x = 1 x 2 + 1 ,  với mọi số thực  x d d x arcosh ⁡ x = 1 x 2 − 1 ,  với mọi số thực  x > 1 d d x artanh ⁡ x = 1 1 − x 2 ,  với mọi số thực  | x | < 1 d d x arcoth ⁡ x = 1 1 − x 2 ,  với mọi số thực  | x | > 1 d d x arsech ⁡ x = − 1 x 1 − x 2 ,  với mọi số thực  x ∈ ( 0 , 1 ) d d x arcsch ⁡ x = − 1 | x | 1 + x 2 ,  với mọi số thực  x , ngoại trừ  0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ với mọi số thực }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ với mọi số thực }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ với mọi số thực }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ với mọi số thực }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ với mọi số thực }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ với mọi số thực }}x{\text{, ngoại trừ }}0\\\end{aligned}}}

Ví dụ vi phân: cho θ = arsinh x, vậy (khi sinh2 θ = (sinh θ)2):

d arsinh ⁡ x d x = d θ d sinh ⁡ θ = 1 cosh ⁡ θ = 1 1 + sinh 2 ⁡ θ = 1 1 + x 2 . {\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}